domingo, 23 de mayo de 2010

variables complejas continuas

Interpretación

La continuidad es todo lo referido a puntos específicos del dominio de las funciones .Los limites entonces lo definimos como extensión del concepto de continuidad.
Las funciones de variables complejas son consideradas herramientas aplicadas en el área de matemática siendo de gran para la demostración de teoremas incluso en teoría de los números. Y vienen dadas de las funciones hiperbólicas que de estas a su vez se derivan las funciones homónimas reales definidas en el plano complejo como son las funciones seno y coseno hiperbólico.
Así como también para poder comprender mejor y aplicar el cálculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario conocer y comprender la definición de la continuidad.
En la definición se interseca a U(a) con D, dominio de la función, para asegurar que para
los puntos X considerados exista imagen f(X).
En particular, el conjunto U(a) ∩ D nunca es vacıo porque por lo menos contiene al punto a.
A partir de la definición de continuidad se extrae el siguiente teorema:
Teorema 3.4.1. Toda función es continua en los puntos aislados de su dominio.
a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a
Demostración.
Por definición de Pt.:
∀ U(f(a)) ∃ U(a) : U(a) ∩ D = {a}
Luego
∀ X ∈ U(a) ∩ D =⇒
∀ X ∈ {a} =⇒ f(a) ∈ U(f(a))
el l´ımite es una extensión de la noción de continuidad,
Y también por ello desde el punto de vista pedagógico se puede explicar y entender mejor dicho concepto.
Hay funciones continuas que no tienen l´ımite, las definidas sobre un punto aislado.
Para el caso particular de funciones de variable compleja, la definición de continuidad se puede reducir
a una forma operativa, tomando como entornos a bolas con centro a y f(a) respectivamente en los planos
z y w.
U(a) = {z: z − a < δ}
U (f(a)) = {w: w − f(a) < ǫ}
Resultando:
f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : z − a < δ} ∩ D =⇒ f(z) − f(a) < ǫ
La definición de continuidad se referıa a un punto especıfico a del dominio de la función.
Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la función es continua sobre el.
Definición de limite
Puede hacerse una extensión del concepto de continuidad a los puntos de acumulación del dominio de una función f (pertenezcan o no a el), cuando existe un elemento L del espacio E′ (donde se aplica f), que pueda hacer las veces de f(a) en la definición de continuidad. El liımite L es el valor hipotético que habrıa que asignarle al punto a para que la función fuera en el continua. Por supuesto esto no siempre es posible y en ese caso se dice que no existe el liımite.
La diferencia formal de esta definición con respecto a la de continuidad es que se ha empleado el sımbolo V (a) en lugar de U(a). Es decir, el uso de vecinales de a es obligado porque no debe tenerse en cuenta si existe o no la función en a y tampoco, en caso afirmativo, cual es ese valor f(a).

saludos angel ardila 11300451

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