Al hablar de similitud o diferencia es un termino amplio en todo el sentido de la palabra ya que allí se engloba en forma resumida toda la esencia de la matemática; y por consiguiente todo matemático parte de lo básico o lo esencial, pasando por lo complejo hasta llegar al resultado o solución de una función, ecuación, integral, etc. Así como la geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras (círculo, triángulo, etc.).También la matemática nos ayuda a enfrentar el o los problemas que se nos plantea cuando deseamos conocer el área definida por una función y = f(x), o calcular la resistencia de los elementos o componentes por medio de las integrales o por ejemplo cuando se alcanza zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R (f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].
Esto trae como resultado que la similitud entre las dos; es que ambas trabajan de un punto determinado a otro punto en el plano. Así como también entendemos o sabemos las operaciones básicas de la matemática también debemos de entender por función compleja de variable compleja, a una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,
f: A c C → C.
Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,
u (z) = Re f (z), v(z) = im. f (z).
Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, así, es muy frecuente escribir
f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.
Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.
Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de estos sólo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.
Toda cantidad donde el valor de la misma depende de una o más cantidades se llama la función de éstas últimas, se sepa o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.
Rieman, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función; si las cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Así mismo al aplicar la definición de integral a las funciones analíticas se obtiene un resultado fundamental, enunciado primero por Cauchy y después perfeccionado por Goursat, que se expresa, en ciertas condiciones, de esta manera tenemos que:
Sea C un contorno de integración cerrado y f(z) una función analítica en una región A que contiene C y el interior de C; entonces es
?c f (z) dz=0.
Consecuencia del resultado anterior es la llamada fórmula integral de Cauchy, que expresa el valor de una función en un punto zo de la región de analiticidad A por medio de una integral a lo largo de un contorno C alrededor de dicho punto z0: f(z0)=1/(2?i)?f(z)/(z-z0)dz.
A partir de esta fórmula se pueden calcular las derivadas sucesivas de la función f (z) en zo obteniéndose lo siguiente:
f(n)(z0)=n!/(2?i)?f(z)/(z-z0)n+1dz
que coinciden con el resultado que se obtiene por derivación formal de la fórmula de Cauchy respecto de zo.
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AA017
